خرید و دانلود نسخه کامل کلیات معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

کلیات معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

1-مقدمه

یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (یا نسبی) برای یک تابع  رابطه‌ای است که بین تابع مجهول u و متغیرهای مستقل آن (به تعداد متنابهی) و مشتقات جزئی تابع u نسبت به متغیرهای مستقل آن برقرار می‌باشد. تابع u را جوابی برای معادله دیفرانسیل فوق مینامیم هرگاه پس لز جایگزینی u(x,y,…) و مشتقات جزئی آن، این معادله دیفرانسیل نسبت به متغیرهای مستقل مذکور، درناحیه  ای از فضای این متغیرهای مستقل تبدیل به یک اتحاد شود.

مرتبه یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی بالاترین مرتبه مشتقات موجود در آن معادله است. مثلاً uu_xy+u_yu_x=f(x,y) یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم است. در اینجا   و  و

یک معادلعه دیفرانسیل با مشتقات جزئی را خطی[1] گوئین هرگاه این معادله نسبت به تابع مجهول و مشتقات آن، با ضرایبی که فقط تابع متغیرهای مستقل هستند، خطی باشد. یک معادله با مشتقات جرئی از مرتبه m را شبه خطی[2] گوئیم هرگاه این معادله نسبت به مشتقات جزئی مرتبه mام تابع مجهول، با ضرایبی که فقط تابع متغیرهای مستقل u و مشتقات از مرتبه کمتر از m هستند، خطی باشد (مانند مثال بالا) یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی یک حالت خاص معادله شبه خطی است.

2- معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول

معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی با ضرایب ثابت

به عنوان گام نخست معادلع دیفرانسیل  (2-1) au_x+bu_y+cu=f(xy) را درنظر می‌گیریم، که در آن تابع f داده شده و ضرایب ثابت‌اند. سعی می‌کنیم با تغییر متغیرهای ساده مانند (2-2) x=ay+a₁ و y=by+b₁ معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (2-1) را به معادله دیفرانسیل )uy+cu=f(ay+a₁ , by +b₁ تبدیل کنیم که مانند یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه اول با ضرایب ثابت نسبت به متغیر مستقل y حل می‌شود، منتها ثابت انتگرالگیری تابع دلخواهی از  خواهد بود. بعد از حل بجای y و  برحسب x و y جانشین می‌کنیم تا جواب u(x,y) حاصل شود البته لازمه این کار آنست که دترمیبنال ضرایب تغییر متغیرهای (2-C) غیرصفر باشد، سعنی مستقل بودن این متغیرها تضمین شود (این دترمینال ژاکوبی تغییر متغیرها است)

مثال ا

قضیه زیر یک روش حل معادله با مشتقات جزئی مرتبه اول شبه خطی را پیش روی ما میگذارد که فعلاً از بیان آن خودداری می‌کنیم.

قضیه 1 جولب عمومی معادلع دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول شبه خطی (2-3) P(x,y,u)u_x+Q(x,y,u)u_y=R(x,y,u) به صورت W=F(v) است که در آن F تابعی دلخواه است و V(x,y,u)=c₁و W(x,y,u) جواب عمومی در معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول (2-4)  میباشد.

مثال 2: جواب عمومی معادله uu_x+yu_y=x را بیابید

حل دستگاه دو معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول از روابط  بدست می‌آیند

مثال 1. معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی زیر را حل کنید.

حل. ابتدا با تغییر متغیرهای  و  معادله دیفرانسیل فوق را تبدیل می‌کنیم به صورت

اکنون یک دستگاه تغییر متغیرهای دیگری بکار می بریم به صورت و که در آن  ثابت فرض می‌شود، تا اینکه متغیرهای s و t مستقل باشند. از اینجا نتیجه می‌شود

که در آن  تابع دلخواه ولی مشتق پذیر است.

در حالت خاص  داریم

3.طبقه بندی معادلات با مشتقات جزئی مرتبه دوم نیمه خطی[3]

در این بخش خانواده معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم نیمه خطی با دو متغیر مستقل بصورت

(3-1)

را درنظر می‌گیریم که در آن  تنها توابعی از x و y فرض می‌شوند. این معادله را در نقطه   از نوع هذلولیگون[4]، سهمیگون[5]، و یا بیضیگون[6] گوئیم هرگاه عبارت  به ترتیب مثبت، صفر، و یا منفی باشد. معادله (3-1) را در یک ناحیه از صفحه xy از نوع هذلولیگون، سهمیگرون، و یا بیضیگون گ.ئیم هرگاه عبارت مذکور در سراسر آن ناحیه به ترتیب مثب، صفر، و یا منفی باشد.

اکنون تبدیل مختصات  به صورت  و  را به قسمی جستجو می‌کنیم که معادله دیفرانسیل (3-1) را ساده تر نموده و در صورت امکان به طور صریح حل پذیر نماید. فرض می کنیم تین تبدیل دارای عکس بوده و توابع  و  دارای مشتقات جرئی پیوسته تا مرتبه دوم باشند. در این صورت  و

و اگر این عبارات را در (3-1) جانشین کنیم، معادله دیفرانسیل به صورت
(3-2)

به دست می آید که در آن

و F* تابعی از  و  و  نیست، اگر معادله دیفرانسیل (3-1) خطی باشد، آنگاه معادله دیفرانسیل (3-2) نیز خطی خواهد بود.

اگر بتوان مختصات جدید را طوری انتخاب نمود که  صفر شود، آنگاه معادله جدید (3-2) ساده تر خواهد شد. در این رابطه لم زیر را بیان می‌کنیم و اثبات آنرا به خاطر سادگی به خواننده واگذار می‌کنیم.

لم. معادله با مشتقات جزئی مرتبه اول

(3-3)

دارای جوابی به صورت  است و اگر و تنها اگر کعادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول

(3-4)

جوابی به صورت  (منحنی‌های تراز رویه ) داشته باشد، که در آن C ثابت دلخواه است.

معادله دیفرانسیل (3-4) را معادله مشخصه (یا سرشت نمای) معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (3-1) گویند، و هر جواب آنرا یک مشخصه معادله (3-1) مینامنداز (3-4) دو معادله حاصل می‌شود

به سهولت می توان درستی تساوی زیر را نشان داد.

که از آن تغییرناپذیری نوع معادله (3-1) در اثر تبدیل مختصات فوق به وضوح دیده یم شود. همچنین در نقاط متفاوت ناحیه تعریف معادله 03-1)، این معادله ممکن است از انواع مختلف باشد.

حال یک ناحیه G از صفحه را اختیار می‌کنیم که در تمام نقاط آن معادله (3-1) از یک نوع باشد و درون G را ناتهی فرض می‌نمائیم. از هر نقطه ناحیه درون G دو مشخصه عبور می‌کند که برای یک معادله دیفرانسیل از نوع هذلولیگون، این دو حقیقی و تمایزاند،[7] برای نوع سهمیگون. این دو حقیقی و یکسان اند و برای نوع بیضیگون موهومی و متمایزاند. هریک از حالات فوق را جداگانه مورد بررسی قرار میدهیم.

الف) برای معادله دیفرانسیل نوع هذلولیگون (حالت )، عبارات سمت راست معادلات (3-5) حقیقی و متمایزاند. جوابهای (انتگرالهای) عمومی  و  از این معادلات یک مجموعه حقیقی از مشخصه‌ها را تعیین می‌نماید. در حالتی که  و  همزمان صفر نباشد قرار می‌دهیم

و

معادله دیفرانسیل (3-2) اکنون با تقسیم طرفین بر ضریب  که غیر صفر است (چرا؟) به صورت زیر درمی‌آید

(3-6)

که فرم کانوئیک یک معادله از نوع هذلولیگو نامیده می‌شود. اگر ضرایب  و  همزمان صفر باشند، آنگاه از ابتدا فرم کانونیک را داریم

(ب) برای معادله‌ای از نوع سهمیگون (حالت ) معادلات (3-5) یکسان‌اند و تنها ک جواب (انتگرال) عموم یکتا از این معادلات به صورت  بدست می‌آید. در این حالت قرار میدهیم  و سپس  را به دلخواه طوری اختیار می‌کنیم که مستقل از  بوده، اما به اندازه کافی هموار[8] باشد چون: ، با این انتخاب متغیرهای جدید خواهیم داشت:  (تحقیق کنید). با تقسیم طرفین (3-2) بر ضریب  که غیر صفر است (چرا؟)، فرم کانوئیک برای یک معادله از نوع سهمیگون به صورت

[7] – تعریف متغیرهای مستقل جدید ،  از طریق توابع  و  تنها زمانی امکان‌پذیر است که این توابع مستقل از یکدیگر باشند و برای این منظور کافی است که دترمینال تابعی (Functional Determinate) مربوط به این توابع غیرصفر باشد. این شرط در اینجا برقار است زیرا اگر  در هر مقطه‌ای مانند M صفر بماند، ستونهای دترمینال برای این نقطه متناسب می‌شد و بنابراین ،  اما چون

لذا تناسب غیرممکن می باشد (بی آنکه از کلیت مسأله کاسته شود می توان فرض نمود ). بنابراین توابع  و  مستقل از یکدیگراند.

[8] – Smooth- یعنی به تعداد کافی مرتبه داریا مشتقات جزئی پیوسته باشد.

کلیات معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی