خرید و دانلود نسخه کامل مقاله کامل توابع بسل

مقاله کامل توابع بسل

توابع بسل :
معادله دیفرانسیل (1)
را که در آن p یک عدد ثابت غیر منفی است معادله بسل نامند و جواب های آن به توابع بسل مشهورند این تابع برای اولین بار در بررسی های دیفرانسیل بونولی در خصوص نوسان های زنجیی آویخته و سپس مجدداً در نظریه اویلر برای ارتعاشات غشای مدور و مطالعات بسل روی حرکت سیارات پدیدار شد.
کاربرد توابع بسل :
اخیراً توابع بسل در فیزیک و مهندسی در رابطه با انتشار امواج کشانی، حرکت سیالات و به خصوص در بسیاری از مسائل مربوط به نظریه پتانسیل و پخش آن دارای تقارن استوانه ای هستند کاربردهای زیادی دارند.
یکی از ساده ترین کاربردهای فیزیکی توابع بسل ، در نظریه اویلر راجع به ارتعاشات غشای مدور ظاهر می گردد.
تعریف تابع (x ) JP :
بررسی جواب های معادله (1) را با توجه به این مطلب شروع می کنیم که بعد از تقسیم معادله (1) بر x2 ضرایب و y به ترتیب و می شوند. بنابراین و بدین ترتیب مبدأ یک نقطه غیر عادی منظم است و معادله به صورت و توان ها G مربوط و می باشد.
از قضیه (فرض کنید یک نقطه غیر عادی منظم معادله دیفرانسیل باشد و بسل های سری توانی به صورت و برای توابع در فاصله با معتبر باشند فرض کنید که معادله شاخص دارای دو جواب حقیقی باشد آن گاه معادله در فاصله دارای حداقل یک جواب به صورت

است که در آن dn ها توسط فرمول بازگشتی

با قرار دادن m1 به جای m بر حسب به دست می آیند و سری برای همگراست بعلاوه هر گاه صفر و یا یک عدد صحیح مثبت نباشد در آن صورت معادله (1) در همان فاصله دارای جواب مستقل خطی دیگری به صورت
است که در این حالت ضرایب an بر حسب به دست می آیند مشروط به این که m2 را به جای m قرار دهیم و باز هم سری در فاصله همگراست. چنین بر می آید که معادله (1) دارای جواب به صورت
است که در آن و سری می توان برای کلیه xها همگراست برای تعیین این جواب می نویسیم.

به کمک این فرمول ها می توان جملات طرف چپ معادله (1) را به صورت زیر در آورد.

هر گاه این سری ها را با هم جمع کنیم و ضریب را برابر با صفر قرار دهیم و قدری ساده کنیم به رابطه بازگشتی زیر برای an ها دست خواهیم یافت.
(3)
یا
(4)
می دانیم که مخالف صفر و دلخواه است چون از رابطه (4 ) داریم و کاربرد مکرر (4) نتیجه می دهد که برای هر اندیس فرد بنابراین ضرایب مخالف صفر جواب (2) چنین اند.
و خود جواب عبارت می شود از
(5)

تابع بسل از نوع اول و از مرتبه p که آن را با Jp (x) نشان می دهند با قرار دادن در (5)تعریف می گردد بنابراین
(6)
مفیدترین توابع بسل آن هایی هستند که از مرتبه و یک باشند که عبارت اند از

نمودار این دو تابع در شکل زیر رسم شده است .
-t این نمودارها خواص جالب متعددی از توابع و را نشان می دهند هر یک از آن ها دارای یک رفتار نوسانی میر است که در نتیجه بی نهایت صفر مثبت دارد در صفرهای این دو تابع به تناوب قرار می گیرند به نحوی که صفرهای توابع sin x و cos x را تداعی می کنند.
جواب عمومی معادله بسل :
یک جواب خصوصی از (1) مربوط به توان یعنی را یافته ایم حال برای یافتن جواب عمومی باید به ساختن جواب مستقل دوم بپردازیم یعنی جوابی که مضرب ثابتی از نباشد هر جوابی از این گونه را تابع بسل از نوع دوم می نامند.
روش طبیعی آن است که توان را امتحان کنیم ولی طی این کار هنگامی که اختلاف صفر یا یک عدد صحیح مثبت باشد یعنی هر گاه عدد ثابت غیر منفی p یک عدد صحیح و یا نصف یک عدد صحیح فرد باشد انتظار برخورد با مشکلات وجود دارد.
بین ابتدا فرض می کنیم که p عدد صحیح نباشد در این حالت در عملیات قبلی p را به –p تبدیل می کنیم و به سادگی می بینیم که بحث قبلی تقریباً بدون تغییر پیش می رود تنها استثنا آن است که رابطه (3) به صورت

در می آید و اگر احیاناً در آن صورت با انتخاب n=1 متوجه می شویم که هیچ اجباری برای انتخاب وجود ندارد ولی چون تنها می خواهیم به یک جواب خصوصی برسیم مسلماً مجازیم که a1 را برابر با صفر انتخاب کنیم همین اشکال با و n=3 و الی آخر وجود دارد و در همه حالات آن را با انتخاب می کنیم بقیه چیزها طبق روال قبلی پیش می رود و جواب دومی به صورت
(9)

به دست می آید جمله اول این سری برابر است با

بنابراین در حوالی کراندار است این دو جواب مستقل اند و جواب عمومی (1) عبارت است از
(10) (p غیر صحیح)
در حالتی که p عدد صحیح و مثبت mباشد وضعیت کاملاً متفاوت است در این حالت فرمول (9) به صورت

در می آید زیرا عبارات وقتی m-1 صفرند هر گاه متغیر ظاهری n را به m+n تبدیل و در عوض مجموع را از شروع کنیم می بینیم که

این امر نشان می دهد که مستقل از نیست بنابراین در این حالت جواب عمومی معادله (1) نیست و بررسی ادامه می یابد.
در این مرحله کار نسبتاً پیچیده می شود و ما به طور بسیار خلاصه طرحی از آن ارائه می کنیم به سادگی دیده می شود که جواب دوم مستقل از برابر است با
ولی متداول آن است که راه نسبتاً متفاوت زیرا پیش گیریم وقتی p عدد صحیح نباشد هر تابعی به صورت (10) و منجمله خود یک تابع بسل از نوع دوم است صورت متعارف تابع بسل از نوع دوم با
(11)
تعریف می شود این انتخاب به ظاهر غیر عادی به دلایل مناسبی صورت گرفته است که هم اکنون به تشریح آن ها می پردازیم ولی باید توجه کنیم که (10) را می توان به صورت معادل زیر نوشت
(12) (p غیر صحیح)
هنوز نمی دانیم که وقتی p عدد صحیح m است چه باید کرد . زیرا (11) در این حالت بی معناست بین از یک تحلیل مفعل می توان دید که تابعی که توسط (13)
تعریف می شود موجود و یک تابع بسل از نوع دوم است و در نتیجه
(14)
در همه حالات جواب عمومی معادله بسل است خواه p یک عدد صحیح باشد یا نباشد نمودار توسط منحنی خط چین شکل 1 نشان داده شده
است این نمودار نشان دهنده این نکته مهم است که برای هر تابع در نزدیکی مبدأ بیکران است نتیجتاً اگر تنها علاقه مند به جواب هایی از معادله بسل باشیم که در نزدیک کرا ندارند که در اغلب موارد کاربردی نیز چنین است باید در (14) مقدار را برابر صفر انتخاب کنیم اکنون به تشریح دلیل انتخاب فرم غیر عادی (11) می پردازیم گفتیم که راههای زیادی برای تعریف توابع بسل از نوع دوم وجود دارد تعریف های (11) و (13) به دو دلیل بسیار مناسب اند اولاً شکل (11) به ما امکان می دهد تا به طریقی نسبتاً ساده ثابت کنیم که حد (13) موجود است و ثانیاً این تعاریف نشان می دهند که فشار برای مقادیر بزرگ به طور طبیعی با رفتار مطابقت دارد برای آن که بینیم مقصود از این عبارت چیست می دانیم که معادله بسل (1) با تعریف تابع جدید به صورت زیر در می آید.
(15)
وقتی x بسیار بزرگ باشد معادله (15) را می توان با معادله دیفرانسیل که جواب های مستقل آن و هستند به

فایل : 43 صفحه

فرمت : Word